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 اقليدس بالألمانى

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مُساهمةموضوع: اقليدس بالألمانى   الثلاثاء يناير 19, 2010 12:29 pm

Euklids

Leben
Über das Leben des griechischen Mathematikers Euklid ist wenig bekannt. Man nimmt an, dass er um das Jahr 365 v. Chr. geboren wurde und dass er seine Ausbildung an Platons Akademie in Athen erhalten hat. Man ist ziemlich sicher, dass er während der Regierungszeit von Ptolemaios I. (möglicherweise auch während der von Ptolemaios II.) in Alexandria bis etwa zum Jahre 300 v. Chr. gelebt und dort Mathematik gelehrt hat. Berühmt wurde Euklid durch 13 Lehrbücher, in denen das damalige Wissen zur Mathematik zusammengefasst ist. Die Elemente, wie diese Bücher genannt werden, sind die erfolgreichsten Mathematikbücher aller Zeiten. So wurden Übersetzungen dieser Bücher z. B. in England noch im 19. Jahrhundert als offizielle Schulbücher für die Geometrie benutzt.
Über Euklid erzählt man sich viele Anekdoten: Ein Schüler fragte, als er den ersten Satz gelernt hatte: "Was kann ich verdienen, wenn ich diese Dinge lerne?" Da rief Euklid seinen Sklaven und sagte: "Gib ihm drei Obolen, denn der arme Mann muss Geld verdienen mit dem, was er lernt."
Pharao Ptolemaios fragte einmal Euklid, ob es nicht für die Geometrie einen kürzeren Weg gebe, als die Lehre der Elemente. Er aber besaß den Mut zu antworten, dass es zur Geometrie keinen Königsweg gebe. Auch ein König muss sich wie jeder andere Mensch "auf den Hosenboden setzen", wenn er die Mathematik verstehen will.
Geometrie – Arithmetik – Proportionslehre
Die Elemente waren vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.
Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente auch in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie, die bereits Archytas kannte, darin die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers, sowie auch einen Algorithmus, um ihn zu bestimmen, genannt Euklidischer Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen.
Das bekannte fünfte Postulat der ebenen Euklidischen Geometrie, das Parallelenaxiom, fordert, dass für jede beliebige Gerade und für jeden beliebigen Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, eine eindeutige Gerade existiert, die durch diesen Punkt geht und die erste Gerade nicht schneidet. (Diese Fassung des Axioms stammt von John Playfair. Bei Euklid steht eine andere Formulierung, die aber auf dasselbe hinausläuft.)
Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil sie viel zur Präzisierung mathematischer Begriffe und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurden im 19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der Euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale Axiomatik der Euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk „Grundlagen der Geometrie“ (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet, bis zu der Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist. Seit dem 18. Jahrhundert fragten sich viele bedeutende Mathematiker, ob das Parallelenaxiom aus den übrigen Axiomen beweisbar (und somit entbehrlich) sei. Das führte zur negativen Antwort und damit zur Entdeckung der Nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski. Die Poincaré'sche Halbebene H (Henri Poincaré) ist ein Modell für das Axiomensystem, das dem Parallelen-Axiom nicht genügt. Somit kann das Parellenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen gefolgert werden. (Siehe Nichteuklidische Geometrie)
Musiktheorie
In Euklids musiktheoretischer Schrift Die Teilung des Kanon (griech. Katatomē kanonos, lat. Sectio canonis) die als authentisch einzustufen ist, griff er die Musiktheorie des Archytas auf und stellte sie auf eine solidere akustische Basis, nämlich auf Frequenzen von Schwingungen (er sprach von Häufigkeit der Bewegungen). Er verallgemeinerte dabei den Satz des Archytas über die Irrationalität der Quadratwurzel und bewies ganz allgemein die Irrationalität beliebiger Wurzeln . Der Grund für diese geniale Verallgemeinerung ist seine Antithese gegen die Harmonik des Aristoxenos, die auf rationalen Vielfachen des Tons (Halbton ... n-tel-Ton) aufbaut. Denn in der pythagoreischen Harmonik hat der Ton (Ganzton) die Proportion 9:8, was Euklid zu seiner Antithese „Der Ton ist weder in zwei noch in mehrere gleiche Teile teilbar“ veranlasste; sie setzt allerdings kommensurable Frequenzen voraus, die in der pythagoreischen Harmonik bis zum Ende des 16. Jahrhunderts (Simon Stevin) angenommen wurden. Die Antithese „Die Oktave ist kleiner als 6 Ganztöne“ stützte er auf die Berechnung des pythagoreischen Kommas. Ferner enthält Euklids Teilung des Kanons – wie ihr Titel signalisiert – die älteste überlieferte Darstellung eines Tonsystems am Kanon, einer geteilten Saite, und zwar eine pythagoreische Umdeutung des vollständigen diationischen Tonsystems des Aristoxenos, das die Harmonie des Philolaos erweitert. Euklids Tonsystem wurde zur Grundlage des modernen Tonsystems mit der heute üblichen Bezeichnung durch die Tonbuchstaben Odos.
Werke (Auswahl)
• Euklid: Die Elemente. Bücher I-XIII. Hrsg. u. übers. v. Clemens Thaer. 4. Aufl., Harri Deutsch, Frankfurt a.M. 2003. (Ostwalds Klass. d. exakten Wiss. 235.) ISBN 3-8171-3413-4
• Euklides: Data. Die Data von Euklid, nach Menges Text aus d. Griech. übers. u. hrsg. v. Clemens Thaer. Springer, Berlin 1962
• Euklid: Teilung des Kanons (sectio canonis), ed. H. Menge in: Euclidis opera omnia, Band 8, Leipzig 1916, 158-183
• Euklid: Sectio canonis, neu ediert, übersetzt und kommentiert in: Busch, Oliver: Logos syntheseos : die euklidische Sectio canonis, Aristoxenos, und die Rolle der Mathematik in der antiken Musiktheorie, Hildesheim, 2004, ISBN/ISSN: 3-487-11545-X
Weitere erhaltene Schriften sind: Optika, Über die Teilung der Figuren (auszugsweise erhalten in einer arabischen Übersetzung). Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt: u.a. Pseudaria (Trugschlüsse), Katoptrika und Phainomena (Astronomie).

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مُساهمةموضوع: رد: اقليدس بالألمانى   السبت يناير 23, 2010 2:30 pm

Danke
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